photo from: https://en.ppt-online.org/340978

Kurt Gödel (1906-1978) este considerat cel mai mare matematician al secolului XX. El a elaborat teoremele de incompletitudine. 

De asemenea, Gödel a formulat argumentul matematic pentru existența lui Dumnezeu folosind logica modală. 

Argumentul în formă completă este următorul (Marks & Haug, 2021):

Operatorii logici folosiți de Gödel și semnificația lor:

Literele P, G, E, φ, ψ exprimă proprietăți după cum urmează:

P = calitatea de a fi pozitiv; G = proprietatea dumnezeirii; E = proprietatea existenței; φ și ψ = proprietate dată. φ este o literă a alfabetului grecesc și se pronunță fi, iar ψ se pronunță psi.

Literele x și y semnifică obiecte ale cunoașterii. Construcția de litere „ess” exprimă esențialitatea;

Semnele  →, ↔️, ⇔ ⎕, ◇, ∀,  ∃, ¬, ⋀ au următoarele accepțiuni

„→” indică relație de implicare,  „↔️” indică relația de echivalență, „⇔” exprimă operația de definire, „⎕” indică necesitatea, „◇” exprimă posibilitatea, „∀” ia locul pronumelui nehotărât „oricare”, „∃” exprimă noțiunea de „există”, „¬” indică opusul sau negația, „⋀” ia locul conjuncției „și” din limbajul natural.

Axioma 1 

P(φ) ∧ ⎕∀x (φ(x) → ψ(x)) → P(ψ)

Transpunere: Dacă φ este o proprietate pozitivă, «P(φ)», și dacă x, oricare ar fi entitatea desemnată de acesta, deține 
proprietatea φ (proprietate despre care știm că este pozitivă) și dacă φ implică și proprietatea ψ, «φ(x) → ψ(x)» , atunci 
proprietatea ψ este o proprietate pozitivă P(ψ). 

Altfel spus, dacă una dintre proprietăți este pozitivă, atunci și complementara ei este pozitivă (tudorvisanmiu, 2013). 
„O proprietate, implicată în mod necesar de către o proprietate pozitivă, este pozitivă” (Benzmuller & Paleo, 2013).

De exemplu, dacă bunătatea este o proprietate pozitivă, și dacă o persoană x este caracterizată de bunătate, știind că 
bunătatea implică  și calitatea de a fi binefăcător, atunci calitatea umană de a fi binefăcător este o proprietate pozitivă. 

Axioma 2 

P(¬φ) ↔️ ¬P(φ) 

Transpunere: ¬φ (se citește non-fi) este o proprietate pozitivă dacă și numai dacă φ nu este o proprietate pozitivă (Marks & Haug,
 2021). Altfel spus, dacă o proprietate este pozitivă, atunci negația ei nu este pozitivă. Sau „Fie o proprietate sau negația ei este 
pozitivă, dar nu poate fi pozitivă și una și cealaltă” (Benzmuller & Paleo, 2013). 

De exemplu, o faptă rea este un lucru bun, numai dacă o faptă bună este un lucru rău. Un fapt nu este același lucru cu negația 
lui, A este diferit de non A.

Teorema 1

P(φ) → ◇∃x φ(x)

Transpunere: Dacă proprietatea φ este o proprietate pozitivă, « P(φ)», atunci este posibil să existe o entitate x, «◇∃x», care să 
aibă această proprietate φ, «φ(x)». 

„Proprietățile pozitive pot fi exemplificate” (Benzmuller & Paleo, 2013). „Dacă o proprietate este pozitivă, atunci este posibil ca 
un obiect să aibă acea proprietate” (Marks & Haug, 2021). De exemplu, dacă există bunătate, atunci este posibil să existe o 
persoană caracterizată de bunătate.  

Definiția 1 

 G(x) ⇔ ∀φ(P(φ) → φ(x) 

Transpunere: Entitatea x are proprietatea dumnezeirii, «G(x)», dacă și numai dacă x are proprietatea φ, «φ(x)», iar orice 
proprietate φ este o proprietate pozitivă. 

 Altfel spus, ceva are proprietatea dumnezeirii atunci când posedă orice proprietate pozitivă. „O ființă dumnezeiască posedă toate proprietățile pozitive” (Benzmuller & Paleo, 2013). 

 

Axioma 3

  P (G)

 Transpunere: Proprietatea dumnezeirii este o proprietate pozitivă.

Adică, noțiunea de dumnezeire exprimă o proprietate pozitivă. Dana Scott include și ideea următoare: „Proprietatea dumnezeirii este pozitivă: este posibil ca Dumnezeu să existe” (Benzmuller & Paleo, 2013). Accentul aici este pe posibilitate, idee subliniată de teorema 2.

 

Teorema 2

  ◇ ∃x G(x)

  Este posibil să existe o entitate x, «◇ ∃x», care să aibă proprietatea dumnezeirii,  «G(x)» (Marks & Haug, 2021).

 Rezumat preliminar A: S-a stabilit că există proprietăți pozitive (Axioma 1). Din moment ce este posibilă o entitate caracterizată
 de aceste proprietăți pozitive (Teorema 1), iar proprietatea dumnezeirii este sumă a proprietăților pozitive (Axioma 3), atunci 
este posibil să existe o entitate care să posede proprietatea dumnezeirii. Avem așadar o formulă silogistică.   

 

Definiția 2 

 φ ess x ⇔ φ(x)⋀∀ψ (ψ(x) → ⎕∀y (φ(y) → ψ(y))) 

Transpunere: φ este o proprietate esențială a lui x, «φ ess x», dacă și numai dacă se iau calcul următoarele: x are proprietatea φ, «φ(x)» și, totodată, proprietatea ψ «φ(x)⋀∀ψ (ψ(x)», și dacă se impune cu necesitate ca și în cazul entității y, proprietatea φ a lui y să implice și proprietatea ψ a lui y «(φ(y) → ψ(y)». 

Altfel spus, Fi este o proprietate esențială a lui x dacă și numai dacă orice altă proprietate Psi al lui x este în mod necesar implicată de Fi. „O esență a unui individ este o proprietate posedată de acesta și aceasta le implică, în mod necesar, pe oricare din proprietățile lui” (Benzmuller & Paleo, 2013). 

 De exemplu, raționalitatea este o proprietate esențială a omului, dacă și numai dacă orice altă caracteristică specific umană (de ex. afecțiunea,
voliția, conștiința, responsabilitatea, practicalitatea) este implicată de noțiunea de raționalitate. Exemplul pe care-l dă Marks & Haug este următorul:
„ia în considerare o bucată de pâine gourmet dintr-un restaurant de 5 stele. Doar spunându-ți asta, cunoști multe proprietăți diferite despre acel articol.
Știi că este mâncare, că are un gust bun, că are interiorul moale și exteriorul crocant, etc. A fi pâine gourmet este proprietatea esențială a acelui obiect
pentru că determină toate restul proprietăților sale” (Marks & Haug, 2021).

Axioma 4

 P(φ) → ⎕ P(φ)

 Dacă φ este o proprietate pozitivă, atunci este necesar ca φ să fie o proprietate pozitivă (Marks & Haug, 2021). Orice proprietate pozitivă este cu 
necesitate pozitivă, indiferent de lumea în care am proiecta această axiomă. „proprietățile pozitive sunt cu necesitate pozitive” 
(Benzmuller & Paleo, 2013). Proprietatea pozitivă are caracter universal. 

 

Teorema 3

 G(x) → G ess x

 Transpunere: „Dacă obiectul x are proprietatea dumnezeirii, atunci proprietatea dumnezeirii este proprietatea esențială a obiectului x” (Marks & Haug, 2021). În alte cuvinte, dacă o entitate are proprietatea dumnezeirii, «G(x)», atunci dumnezeirea este proprietatea lui esențială «G ess x». „Dumnezeirea este o esență a oricărei ființe numite Dumnezeu” (Benzmuller & Paleo, 2013). 

Rezumat preliminar B: S-a stabilit că există proprietăți pozitive (Axioma 1). Din moment ce este posibilă o entitate caracterizată de aceste proprietăți pozitive (Teorema 1), iar proprietatea dumnezeirii este o proprietate pozitivă (Axioma 3), atunci este posibil să existe o entitate care să posede proprietatea dumnezeirii (Teorema 2). Dacă entitatea x are proprietatea dumnezeirii, atunci proprietatea dumnezeirii este proprietatea esențială a entității x (teorema 3).

 

Definiția 3 

 E(x) ⇔∀φ(φ ess x → ⎕ ∃y φ(y))

 O entitate x are proprietatea existenței necesare, «E(x)», dacă și numai dacă luăm în calcul următoarele: proprietate φ este o proprietate esențială a lui x, «∀φ(φ ess x», și, totodată, dacă aceasta implică cu necesitate existența lui y care are proprietatea pozitivă  φ «→ ⎕ ∃y φ(y)». Mai precis, o entitate x are existența în mod necesar, dacă și numai dacă o proprietatea esențială pozitivă, φ, există atât pentru x, cât și pentru y, atât pentru o lume dată, cât și pentru orice altă lume. „Prin definiție, afirmăm că entitatea x are o existență necesară (și notăm aceasta cu E(x), unde E este proprietatea sau atributul existenței necesare), dacă și numai dacă pentru orice proprietate-esență φ, a lui x, în mod necesar există o entitate care are proprietatea φ în oricare dintre lumile posibile.” (***).  „Obiectul x are în mod necesar [proprietatea, n. trad.] existenței, dacă și numai dacă, dată fiind proprietatea Fi, Fi este o proprietate esențială a lui x, atunci este necesar să existe un obiect y care să aibă proprietatea Fi” (Marks & Haug, 2021). Cu alte cuvinte, un obiect al cunoașterii noastre x există în mod necesar dacă existența face parte (este una din totalitatea esențelor sale) din proprietatea sa esențială și pozitivă. Dumnezeu există cu necesitate numai dacă existența este parte din noțiunea de dumnezeire.

 

Axioma 5

P(E)

„Existența necesară este o proprietate pozitivă” (Marks & Haug, 2021).

Adică, a exista este un lucru pozitiv.

 

Teorema 4

 ⎕ ∃x G(x) 

„Este necesar să existe un obiect x care are proprietatea dumnezeirii” (Marks & Haug, 2021).

 Aceasta este concluzia argumentului lui Godel: „Este necesar ca Dumnezeu să existe. Acesta este ultimul pas al argumentului” (Marks & Haug, 2021).

Rezumat final: S-a stabilit că există proprietăți pozitive (Axioma 1). Din moment ce este posibilă o entitate caracterizată de această proprietate pozitivă sau grup complet de proprietăți pozitive (Teorema 1), iar proprietatea dumnezeirii este o proprietate pozitivă sau grup de proprietăți de acest gen (Axioma 3), atunci este posibil să existe o entitate care să posede proprietatea dumnezeirii (Teorema 2). Dacă entitatea x are proprietatea dumnezeirii, atunci proprietatea dumnezeirii este proprietatea esențială a entității x (teorema 3).

Deci este posibil ca o entitate x care are proprietatea dumnezeirii, o proprietate (sau grup complet de proprietăți) pozitivă și esențială, să aibă și proprietatea existenței necesare (definiția 3). Acum, dacă este posibil să existe entitatea x care să aibă proprietatea existenței necesare, atunci o entitate x care are proprietatea dumnezeirii există cu necesitate (teorema 4).

 

 

 

Bibliografie:

1.    Benzmuller, Christoph & Paleo, Bruno Woltzenlogel. (submitted 21 August 2013, revised 10 Sept. 2013, last version 3 Sept. 2017). „Formalization, Mechanization and Automation of Godel’s Proof of God’s Existence”. Cornell University.  https://arxiv.org/pdf/1308.4526v4.pdf.    

2.    Marks, J. Robert & Haug Samuel. (2021, June 7). „Godel Says God Exists and Proves it”. Mind Matters News. https://mindmatters.ai/2021/06/godel-says-god-exists-and-proves-it/.

3.    Tudorvisanmiu. (2013, Aprilie 27). „Argumentul ontologic al lui Kurt Godel, în favoarea existenței lui Dumnezeu”. https://tudorvisanmiu.wordpress.com/2013/04/27/argumentul-ontologic-al-lui-kurt-godel/.

4.    ***. (***). „Existența cea veșnică a lui Dumnezeu a fost demonstrată prin intermediul unui argument ontologic de marele matematician și logician Kurt Gödel”. Mișcarea Carismatică Teofanică. https://miscareacharismatica.ro/existenta-cea-vesnica-a-lui-dumnezeu-a-fost-demonstrata-prin-intermediul-unui-argument-ontologic-de-marele-matematician-si-logician-kurt-godel/.